Suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique et suite géométrique : définitions

Une suite est une liste ordonnée de nombres construite selon une règle. Les deux types les plus étudiés au collège et au lycée sont la suite arithmétique et la suite géométrique.

Dans une suite arithmétique, on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé la raison r. Le terme général s'écrit u_n = u₁ + (n − 1) × r. Par exemple, la suite 2, 5, 8, 11… a pour premier terme 2 et pour raison 3.

Dans une suite géométrique, on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, appelé la raison q. Le terme général s'écrit u_n = u₁ × q⁽ⁿ⁻¹⁾. Par exemple, la suite 3, 6, 12, 24… a pour premier terme 3 et pour raison 2.

Notre outil calcule en temps réel le terme de rang n et la somme des n premiers termes : choisissez le type de suite, entrez le premier terme, la raison et le rang voulu.

Formules des sommes

Pour une suite arithmétique, la somme des n premiers termes vaut : S_n = n × (u₁ + u_n) / 2. Autrement dit, on multiplie le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier terme.

Pour une suite géométrique de raison q différente de 1, la somme vaut : S_n = u₁ × (1 − qⁿ) / (1 − q). Si la raison q vaut 1, tous les termes sont égaux et la somme est simplement n × u₁.

Questions fréquentes

Comment reconnaître une suite arithmétique ou géométrique ?

Calculez la différence entre deux termes consécutifs : si elle est constante, la suite est arithmétique. Calculez ensuite le rapport entre deux termes consécutifs : s'il est constant, la suite est géométrique.

Comment calculer le terme de rang n ?

Pour une suite arithmétique : u_n = u₁ + (n − 1) × r. Pour une suite géométrique : u_n = u₁ × q⁽ⁿ⁻¹⁾. Il suffit de remplacer u₁, la raison et n par leurs valeurs.

Que se passe-t-il si la raison vaut 1 ?

Pour une suite géométrique de raison 1, tous les termes sont identiques au premier terme, donc la somme des n premiers termes vaut simplement n × u₁. La formule générale ne s'applique pas car elle diviserait par zéro.

Une suite peut-elle être décroissante ?

Oui. Une suite arithmétique décroît si sa raison est négative. Une suite géométrique de termes positifs décroît si sa raison est comprise entre 0 et 1.