Calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres

PGCD et PPCM : définitions et méthode de calcul

Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux nombres entiers est le plus grand nombre qui divise les deux nombres sans laisser de reste. Par exemple, le PGCD de 48 et 36 est 12, car 12 est le plus grand nombre qui divise à la fois 48 et 36.

Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de deux nombres est le plus petit nombre strictement positif qui est un multiple des deux nombres. Le PPCM de 48 et 36 est 144. Il existe une relation fondamentale entre PGCD et PPCM : PGCD(A, B) × PPCM(A, B) = A × B.

Notre calculateur utilise l'algorithme d'Euclide, une méthode efficace connue depuis l'Antiquité. Le principe est simple : on divise le plus grand nombre par le plus petit, puis on remplace le plus grand par le reste de la division. On répète l'opération jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier diviseur non nul est le PGCD.

Le PGCD est utilisé pour simplifier les fractions (en divisant numérateur et dénominateur par leur PGCD) et pour résoudre des problèmes de partage équitable. Le PPCM est utile pour additionner des fractions (trouver un dénominateur commun), planifier des événements cycliques ou résoudre des problèmes de synchronisation.

Ces deux notions sont fondamentales en arithmétique et sont enseignées dès le collège. Notre outil vous permet de les calculer instantanément, avec le détail des étapes pour mieux comprendre la méthode.

Exemples pratiques du PGCD et du PPCM

Pour simplifier une fraction, calculez le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis divisez les deux par ce nombre. Par exemple, pour simplifier 84/126 : PGCD(84, 126) = 42, donc 84/126 = 2/3. C'est la méthode la plus fiable pour obtenir une fraction irréductible.

Le PPCM est essentiel pour additionner des fractions ayant des dénominateurs différents. Pour calculer 1/6 + 1/8, il faut trouver le PPCM de 6 et 8, qui est 24. On obtient alors 4/24 + 3/24 = 7/24. Sans le PPCM, cette opération serait bien plus laborieuse.

Dans la vie courante, le PPCM résout des problèmes de synchronisation. Si un bus passe toutes les 12 minutes et un tramway toutes les 8 minutes, ils passent ensemble toutes les PPCM(12, 8) = 24 minutes. Ce type de raisonnement s'applique aussi à la planification de tâches répétitives en entreprise.

Le PGCD intervient aussi dans les problèmes de découpage et de partage. Si vous souhaitez découper un rectangle de 120 cm par 84 cm en carrés les plus grands possibles, le côté de chaque carré sera PGCD(120, 84) = 12 cm. Vous obtiendrez alors 10 × 7 = 70 carrés identiques.

Questions fréquentes

Comment calculer le PGCD de deux nombres ?

Utilisez l'algorithme d'Euclide : divisez le plus grand nombre par le plus petit, puis remplacez le plus grand par le reste. Recommencez jusqu'à obtenir un reste de 0. Le dernier diviseur non nul est le PGCD. Exemple : PGCD(48, 36) → 48 = 36 × 1 + 12 → 36 = 12 × 3 + 0 → PGCD = 12.

Quelle est la relation entre PGCD et PPCM ?

La relation fondamentale est : PGCD(A, B) × PPCM(A, B) = A × B. On peut donc calculer le PPCM à partir du PGCD : PPCM(A, B) = (A × B) / PGCD(A, B). C'est la méthode utilisée par notre calculateur, car l'algorithme d'Euclide calcule d'abord le PGCD, puis le PPCM en découle.

À quoi sert le PGCD dans la vie quotidienne ?

Le PGCD sert principalement à simplifier des fractions, à découper des surfaces en parts égales maximales, et à résoudre des problèmes de répartition équitable. Par exemple, pour répartir 60 bonbons rouges et 45 bonbons bleus en sachets identiques les plus grands possible, on calcule PGCD(60, 45) = 15 sachets.

Deux nombres premiers entre eux, qu'est-ce que c'est ?

Deux nombres sont dits « premiers entre eux » (ou copremiers) lorsque leur PGCD vaut 1. Par exemple, 8 et 15 sont premiers entre eux car PGCD(8, 15) = 1, même si ni 8 ni 15 n'est un nombre premier. Dans ce cas, leur PPCM est simplement 8 × 15 = 120.

Peut-on calculer le PGCD de plus de deux nombres ?

Oui, on procède par étapes. Le PGCD de trois nombres A, B et C est PGCD(PGCD(A, B), C). Par exemple, PGCD(12, 18, 24) = PGCD(PGCD(12, 18), 24) = PGCD(6, 24) = 6. Le même principe s'applique au PPCM : PPCM(A, B, C) = PPCM(PPCM(A, B), C).