Calculer une puissance (xn)
Calculez x élevé à la puissance n avec le détail de la décomposition.
x à la puissance n
Qu'est-ce qu'une puissance en mathématiques ?
La puissance d'un nombre est le résultat de la multiplication répétée de ce nombre par lui-même. On note xn (x élevé à la puissance n), où x est la base et n l'exposant. Par exemple, 53 = 5 × 5 × 5 = 125.
Les puissances sont fondamentales en mathématiques, en physique et en informatique. Elles interviennent dans le calcul des intérêts composés, la croissance exponentielle, les unités de mesure (km², m³), la notation scientifique et de nombreuses formules.
Propriétés des puissances
Les principales règles de calcul avec les puissances sont :
- x0 = 1 (tout nombre à la puissance 0 vaut 1, sauf 00 qui est indéterminé)
- x1 = x (tout nombre à la puissance 1 vaut lui-même)
- xa × xb = xa+b (produit de puissances de même base)
- xa / xb = xa-b (quotient de puissances de même base)
- (xa)b = xa×b (puissance d'une puissance)
- (x × y)n = xn × yn (puissance d'un produit)
- x-n = 1 / xn (exposant négatif = inverse)
- x1/n = racine n-ième de x (exposant fractionnaire)
Puissances courantes à connaître
Voici les puissances les plus utilisées :
Carrés : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.
Cubes : 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1 000.
Puissances de 2 : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024 (essentielles en informatique pour les octets et la mémoire).
Puissances de 10 : 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, 1 000 000 (utilisées en notation scientifique et pour les préfixes SI : kilo, méga, giga).
Questions fréquentes
Tout nombre non nul élevé à la puissance 0 vaut 1. Par exemple, 70 = 1, 1000 = 1, (-3)0 = 1. Le cas 00 est généralement considéré comme indéterminé.
Un exposant négatif signifie l'inverse : x-n = 1 / xn. Par exemple, 2-3 = 1 / 23 = 1 / 8 = 0,125.
La racine est l'opération inverse de la puissance. Si 52 = 25, alors √25 = 5. On peut aussi écrire la racine n-ième comme un exposant fractionnaire : √x = x1/2, ∛x = x1/3.
L'informatique repose sur le système binaire (0 et 1). Chaque bit double les possibilités : 1 bit = 2 valeurs, 8 bits = 256 valeurs (1 octet), 10 bits = 1 024 (1 Ko). C'est pourquoi la RAM et le stockage utilisent des puissances de 2.