Calculer la factorielle d'un nombre (n!)
Entrez un entier positif pour obtenir sa factorielle avec le détail du calcul.
Calcul de n!
Factorielles de 0 à 20
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5 040 |
| 8 | 40 320 |
| 9 | 362 880 |
| 10 | 3 628 800 |
| 15 | 1 307 674 368 000 |
| 20 | 2 432 902 008 176 640 000 |
Factorielle : définition et propriétés
La factorielle d'un entier naturel n, notée n!, est le produit de tous les entiers de 1 à n. Par exemple, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Par convention, 0! = 1.
La factorielle croît extrêmement vite : 10! = 3 628 800, 20! dépasse les 2,4 × 1018, et 100! compte 158 chiffres. Cette croissance rapide est un concept fondamental en mathématiques et en informatique.
Les factorielles interviennent dans de nombreux domaines : calcul de combinaisons et d'arrangements, développement en série de Taylor, calcul de probabilités, et analyse de la complexité algorithmique. Comprendre la factorielle est essentiel pour tout étudiant en mathématiques ou en informatique.
Applications pratiques de la factorielle
En dénombrement, n! donne le nombre de façons d'ordonner n objets distincts. Par exemple, 5 livres peuvent être rangés dans 5! = 120 ordres différents sur une étagère. Ce principe s'applique aux classements sportifs, aux permutations de lettres dans un mot, ou aux plannings de tâches.
En probabilités, la formule des combinaisons C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!) utilise les factorielles pour calculer le nombre de façons de choisir k éléments parmi n. C'est la base du calcul des chances au Loto, au poker, ou dans tout tirage aléatoire.
En analyse mathématique, les factorielles apparaissent dans le développement de fonctions comme ex = ∑ xn/n! ou sin(x) = ∑ (−1)n x2n+1/(2n+1)!. Ces séries de Taylor sont utilisées dans les calculatrices scientifiques et en physique.
Questions fréquentes
Pourquoi 0! = 1 ?
Par convention et par cohérence mathématique. Le produit vide (produit de zéro facteurs) vaut 1. De plus, cela permet aux formules de combinaisons de fonctionner : C(n, 0) = n! / (0! × n!) = 1, ce qui est logique puisqu'il n'y a qu'une seule façon de ne choisir aucun élément.
Quelle est la plus grande factorielle calculable ?
En JavaScript standard (nombres flottants 64 bits), la précision est exacte jusqu'à 18! = 6 402 373 705 728 000. Au-delà, les résultats sont approchés. Notre calculateur utilise les BigInt pour fournir des résultats exacts bien au-delà de cette limite.
Quel lien entre factorielle et combinaison ?
La combinaison C(n, k) se calcule avec des factorielles : C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!). De même, l'arrangement A(n, k) = n! / (n − k)!. La factorielle est la brique de base du dénombrement.
Comment calculer n! de tête ?
Pour les petites valeurs, retenez : 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720. Pour les valeurs supérieures, utilisez la formule de Stirling : n! ≈ √(2πn) × (n/e)n, qui donne une excellente approximation pour les grands n.