Calculer un arrangement A(n, k)

Arrangement : choisir et ordonner k éléments parmi n

En analyse combinatoire, un arrangement (ou permutation partielle) est le nombre de façons de choisir k éléments parmi n en tenant compte de l'ordre. La formule est : A(n, k) = n! / (n−k)!

Par exemple, combien de podiums différents (or, argent, bronze) peut-on former avec 10 athlètes ? A(10, 3) = 10! / 7! = 10 × 9 × 8 = 720. L'ordre compte : or-argent-bronze n'est pas la même chose que bronze-or-argent.

À ne pas confondre avec la combinaison C(n, k) qui ne tient pas compte de l'ordre. Pour une combinaison, A(10, 3) / 3! = 720 / 6 = 120 groupes possibles.

Exemples d'utilisation des arrangements

• Codes et mots de passe : combien de codes à 4 chiffres différents sans répétition parmi 10 chiffres ? A(10, 4) = 5 040.
• Classements sportifs : combien de podiums différents pour une course de 20 participants ? A(20, 3) = 6 840.
• Planification : de combien de façons peut-on attribuer 5 tâches à 5 personnes parmi 12 ? A(12, 5) = 95 040.
• Jeux de cartes : combien de mains ordonnées de 5 cartes dans un jeu de 52 ? A(52, 5) = 311 875 200.

Questions fréquentes

Quelle différence entre arrangement et combinaison ?

Dans un arrangement, l'ordre compte (ABC ≠ BAC). Dans une combinaison, l'ordre ne compte pas (ABC = BAC). L'arrangement donne toujours un résultat plus grand car il distingue plus de cas. La relation est : A(n, k) = C(n, k) × k!

Que vaut A(n, n) ?

A(n, n) = n!, c'est le nombre de permutations de n éléments. Par exemple, A(5, 5) = 5! = 120 : il y a 120 façons d'ordonner 5 éléments.

Que vaut A(n, 0) et A(n, 1) ?

A(n, 0) = 1 (il n'y a qu'une seule façon de ne choisir aucun élément : ne rien faire). A(n, 1) = n (choisir 1 élément parmi n, c'est simplement n possibilités).

Quelle est la limite de ce calculateur ?

JavaScript peut calculer les factorielles jusqu'à 170! (au-delà, le résultat dépasse la capacité des nombres flottants). Pour n ≤ 170, les résultats sont exacts ou très précis.