Calculer une combinaison C(n, k)
Trouvez le nombre de façons de choisir k éléments parmi n sans tenir compte de l'ordre.
Calcul de C(n, k)
Tableau de combinaisons courantes
| n | k | C(n, k) | Exemple |
|---|---|---|---|
| 5 | 2 | 10 | Choisir 2 personnes parmi 5 |
| 6 | 3 | 20 | Choisir 3 cartes parmi 6 |
| 10 | 3 | 120 | Choisir 3 élèves parmi 10 |
| 49 | 6 | 13 983 816 | Combinaisons au Loto (6/49) |
| 52 | 5 | 2 598 960 | Mains de poker à 5 cartes |
Combinaison C(n, k) : définition et formule
En mathématiques, une combinaison est une sélection de k éléments parmi n, sans tenir compte de l'ordre. Contrairement aux arrangements, choisir {A, B, C} est identique à choisir {C, A, B}. La formule est :
C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)
Par exemple, C(10, 3) = 10! / (3! × 7!) = 120. Il existe 120 façons de choisir 3 éléments parmi 10 sans considérer l'ordre. Ce nombre est aussi appelé coefficient binomial et se note « n parmi k ».
Les combinaisons sont omniprésentes en probabilités et en statistiques. Elles servent à calculer les chances de gagner au Loto (C(49, 6) = 13 983 816 combinaisons possibles), le nombre de mains de poker (C(52, 5) = 2 598 960), ou encore le nombre de groupes de travail possibles dans une classe.
Différence entre combinaison et arrangement
La différence fondamentale est l'ordre. Un arrangement A(n, k) tient compte de l'ordre : choisir le président puis le secrétaire n'est pas la même chose que choisir le secrétaire puis le président. Une combinaison C(n, k) ne considère que la sélection : seule la composition du groupe compte.
La relation entre les deux est simple : A(n, k) = C(n, k) × k!. Pour n = 10 et k = 3 : A(10, 3) = 720 arrangements, tandis que C(10, 3) = 120 combinaisons. Le ratio est k! = 3! = 6, car chaque groupe de 3 éléments peut être ordonné de 6 façons différentes.
Questions fréquentes
Comment calculer C(n, k) sans calculatrice ?
Utilisez la méthode des simplifications successives. Pour C(10, 3), calculez (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 720 / 6 = 120. Vous n'avez besoin que des k premiers termes de n!, ce qui évite de manipuler de grands nombres.
Quand utiliser une combinaison plutôt qu'un arrangement ?
Utilisez une combinaison quand l'ordre ne compte pas. Exemples : tirer des numéros au Loto, choisir des membres pour un comité, sélectionner des ingrédients pour une recette. Utilisez un arrangement quand l'ordre est important : classement, attribution de postes, codes d'accès.
Que vaut C(n, 0) et C(n, n) ?
C(n, 0) = C(n, n) = 1. Il n'y a qu'une seule façon de ne choisir aucun élément (le groupe vide) et qu'une seule façon de choisir tous les éléments (le groupe entier).
Quelle est la symétrie des combinaisons ?
C(n, k) = C(n, n − k). Choisir 3 éléments parmi 10 revient à écarter 7 éléments parmi 10. Ainsi C(10, 3) = C(10, 7) = 120. Cette propriété simplifie les calculs quand k est proche de n.