Calculer une probabilité avec la loi normale
Pour une loi N(μ, σ²), obtenez P(X ≤ x), P(X ≥ x), P(a ≤ X ≤ b), le score z et la densité en x.
Loi normale N(μ, σ²)
La loi normale, reine des distributions
La loi normale, aussi appelée loi gaussienne ou "courbe en cloche", est la distribution de probabilité la plus célèbre. Elle décrit de nombreux phénomènes naturels : tailles humaines, erreurs de mesure, bruits électroniques, notes scolaires, retours sur investissement. Elle est caractérisée par deux paramètres : la moyenne μ (centre de la cloche) et l'écart-type σ (largeur de la cloche).
Sa densité de probabilité a pour formule : f(x) = (1 / (σ√(2π))) × e−(x−μ)² / (2σ²). La fonction de répartition P(X ≤ x), qui n'a pas d'expression analytique simple, se calcule via la fonction d'erreur erf. La loi normale centrée réduite N(0, 1) est un cas particulier de référence ; toute variable X de loi N(μ, σ²) peut être standardisée via le score z = (x − μ) / σ.
Les règles à retenir : environ 68 % des valeurs tombent entre μ − σ et μ + σ, 95 % entre μ − 2σ et μ + 2σ, et 99,7 % entre μ − 3σ et μ + 3σ (règle des 68-95-99,7).
Où rencontre-t-on la loi normale ?
- Statistiques inférentielles : intervalles de confiance, tests d'hypothèses, p-values reposent sur la loi normale.
- Finance : les rendements d'actifs sont souvent modélisés par une loi normale (modèle de Black-Scholes).
- Contrôle qualité : les mesures industrielles suivent généralement une loi normale, base de la méthode Six Sigma.
- Sciences : erreurs de mesure, distributions biologiques (taille, poids), QI standardisé sur N(100, 15²).
- Sondages : la marge d'erreur d'un sondage est calculée via la loi normale.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que le score z et à quoi sert-il ?
Le score z (ou cote z) mesure combien d'écarts-types séparent une valeur de la moyenne : z = (x − μ) / σ. Un z = 2 signifie que x est à 2 écarts-types au-dessus de la moyenne. Le score z permet de standardiser des données de natures différentes et de comparer leur position relative dans leur distribution.
Pourquoi la loi normale est-elle si présente dans la nature ?
Le théorème central limite en est la raison principale : la somme (ou la moyenne) d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes tend vers une loi normale, quelle que soit leur loi d'origine. C'est pourquoi les phénomènes résultant de l'addition de nombreux facteurs indépendants (taille = génétique + nutrition + sport…) suivent une loi normale.
Comment lire une table de la loi normale ?
Une table de la loi normale centrée réduite donne Φ(z) = P(Z ≤ z) pour des valeurs de z entre 0 et 3,99. Pour z négatif : Φ(−z) = 1 − Φ(z). Pour une loi quelconque N(μ, σ²), on standardise d'abord en calculant z = (x − μ) / σ, puis on lit la table. Notre calculateur fait ces étapes automatiquement.
Quelle est la règle des 68-95-99,7 ?
Cette règle empirique indique qu'environ 68 % des valeurs d'une loi normale sont à moins d'un écart-type de la moyenne, 95 % à moins de deux écarts-types, et 99,7 % à moins de trois. Elle permet d'estimer rapidement la probabilité d'un événement sans calcul détaillé.