Calculer une probabilité avec la loi binomiale

La loi binomiale : succès et échecs répétés

La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus lors de n épreuves indépendantes, chacune ayant la même probabilité p de réussir. On la note B(n, p). C'est l'une des lois de probabilité discrètes les plus utilisées : on l'applique dès qu'on répète une expérience de type "pile ou face" un nombre fini de fois.

La probabilité d'obtenir exactement k succès est donnée par la formule : P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^{n − k}, où C(n, k) est le coefficient binomial "k parmi n". L'espérance de la loi binomiale est E(X) = n × p (en moyenne, on attend n×p succès), sa variance est V(X) = n × p × (1 − p), et son écart-type est σ = √(n×p×(1−p)).

Notre calculateur traite la loi binomiale jusqu'à n = 1000 en utilisant un calcul logarithmique stable, ce qui évite les dépassements pour les grandes valeurs. Il fournit P(X = k), la fonction de répartition P(X ≤ k) et la probabilité de la queue droite P(X ≥ k).

Exemples concrets d'utilisation

• Contrôle qualité : sur un lot de 100 pièces produites avec un taux de défaut de 2 %, quelle est la probabilité d'avoir exactement 3 pièces défectueuses ? On utilise B(100 ; 0,02).
• Sondages : si 60 % des électeurs sont favorables à un candidat, quelle est la probabilité qu'au moins 25 personnes sur 40 le soient ? On utilise B(40 ; 0,6).
• Médecine : un médicament guérit 80 % des patients ; sur 50 patients traités, quelle est la probabilité qu'au moins 45 soient guéris ? On utilise B(50 ; 0,8).
• Jeux et casinos : sur 20 lancers d'une pièce équilibrée, quelle est la probabilité d'obtenir exactement 10 fois pile ? B(20 ; 0,5).

Questions fréquentes

Quand utilise-t-on la loi binomiale ?

Dès qu'on répète n épreuves indépendantes, chacune ayant deux issues possibles (succès/échec) et la même probabilité p de succès. Il faut que les épreuves soient indépendantes (le résultat d'une n'influence pas les autres) et que p reste constant.

Quelle est la différence entre loi binomiale et loi normale ?

La loi binomiale est discrète (k = 0, 1, 2… n) ; la loi normale est continue. Pour n grand (n ≥ 30) et p ni trop proche de 0 ni de 1, on peut approximer B(n, p) par une loi normale N(np ; np(1−p)). Cette approximation simplifie les calculs quand n est très élevé.

Comment calcule-t-on C(n, k) ?

Le coefficient binomial C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!) compte le nombre de façons de choisir k éléments parmi n sans tenir compte de l'ordre. Par exemple, C(5, 2) = 10. Notre calculateur l'évalue sur une échelle logarithmique pour rester précis avec de grandes valeurs.

Que représentent l'espérance et l'écart-type ?

L'espérance E(X) = np est le nombre moyen de succès attendus si on répétait l'expérience un grand nombre de fois. L'écart-type σ = √(np(1−p)) mesure la dispersion : 95 % des résultats tombent approximativement dans l'intervalle [E − 2σ ; E + 2σ].