Formule de Héron : aire d'un triangle à partir des 3 côtés
Entrez les longueurs des trois côtés pour calculer l'aire sans connaître la hauteur.
A = √(s(s−a)(s−b)(s−c))
Qu'est-ce que la formule de Héron ?
La formule de Héron (du nom du mathématicien grec Héron d'Alexandrie) permet de calculer l'aire d'un triangle uniquement à partir de la longueur de ses trois côtés, sans avoir besoin de connaître la hauteur ni aucun angle. C'est très pratique pour les triangles quelconques.
La formule se calcule en deux temps. On détermine d'abord le demi-périmètre s = (a + b + c) / 2, puis on applique : A = √(s × (s − a) × (s − b) × (s − c)). Le résultat est exprimé dans l'unité de surface correspondante (cm², m², etc.).
Notre outil applique la formule de Héron en temps réel : entrez les trois côtés a, b et c et obtenez instantanément l'aire, le périmètre et le demi-périmètre, avec le détail du calcul.
Exemple de calcul
Prenons un triangle de côtés a = 3, b = 4 et c = 5. Le demi-périmètre vaut s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6. On applique ensuite : A = √(6 × (6 − 3) × (6 − 4) × (6 − 5)) = √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6. L'aire est donc de 6 unités carrées.
Notez qu'un triangle de côtés 3-4-5 est rectangle : on retrouve bien l'aire (3 × 4) / 2 = 6, ce qui confirme le résultat de Héron.
Questions fréquentes
Quand utiliser la formule de Héron ?
On l'utilise quand on connaît les trois côtés d'un triangle mais pas sa hauteur. Si vous connaissez une base et la hauteur correspondante, la formule classique aire = (base × hauteur) / 2 est plus directe.
Pourquoi mon calcul est-il impossible ?
Pour qu'un triangle existe, chaque côté doit être inférieur à la somme des deux autres (inégalité triangulaire). Si ce n'est pas le cas, par exemple avec 1, 2 et 10, aucun triangle n'est possible et l'aire n'est pas définie.
La formule de Héron marche-t-elle pour tous les triangles ?
Oui, elle fonctionne pour tous les triangles : équilatéraux, isocèles, rectangles ou quelconques, du moment que les trois longueurs respectent l'inégalité triangulaire.
Comment trouver la hauteur à partir de l'aire ?
Une fois l'aire connue, la hauteur relative au côté a se déduit par h = (2 × A) / a. C'est utile pour reconstruire la figure ou pour des calculs supplémentaires.