Résoudre un système d'équations

Comment résoudre un système de deux équations à deux inconnues ?

Un système d'équations linéaires de la forme a·x + b·y = c et d·x + e·y = f admet en général une solution unique : le couple (x ; y) qui vérifie simultanément les deux équations. Géométriquement, chaque équation représente une droite dans le plan, et la solution correspond au point d'intersection des deux droites.

Trois méthodes classiques permettent de résoudre un tel système. La méthode par substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans la première équation, puis à remplacer dans la seconde. La méthode par combinaison (ou élimination) consiste à multiplier les équations par des coefficients bien choisis pour éliminer une inconnue en les additionnant. Enfin, la méthode de Cramer utilise les déterminants : x = (c·e - b·f) / (a·e - b·d) et y = (a·f - c·d) / (a·e - b·d).

Notre calculateur applique la méthode de Cramer et affiche le déterminant du système ainsi que les valeurs exactes de x et y. Il détecte aussi les cas particuliers : système impossible (droites parallèles, aucune solution) et système indéterminé (droites confondues, infinité de solutions).

Le déterminant : la clé du système

Le déterminant du système vaut D = a·e - b·d. Trois situations sont possibles. Si D ≠ 0, le système admet une solution unique donnée par les formules de Cramer. Si D = 0 et que les seconds membres sont incompatibles, le système n'a aucune solution : les deux droites sont strictement parallèles. Si D = 0 et que les deux équations sont proportionnelles, il y a une infinité de solutions : les deux droites sont confondues.

Prenons un exemple concret : 2x + 3y = 12 et x - y = 1. Le déterminant vaut D = 2×(-1) - 3×1 = -5, donc la solution est unique : x = (12×(-1) - 3×1) / (-5) = 3 et y = (2×1 - 12×1) / (-5) = 2. On vérifie : 2×3 + 3×2 = 12 et 3 - 2 = 1. Le couple (3 ; 2) est bien solution.

Les systèmes d'équations interviennent partout : problèmes de mélanges, tarifs combinés (par exemple trouver le prix d'un café et d'un croissant à partir de deux tickets de caisse), équilibres économiques, ou encore intersection de trajectoires en physique.

Questions fréquentes

Comment résoudre un système par substitution ?

Isolez une inconnue dans l'une des équations, par exemple x = 1 + y dans x - y = 1, puis remplacez x dans l'autre équation : 2(1 + y) + 3y = 12, soit 5y = 10 et y = 2, d'où x = 3. Cette méthode est efficace quand un coefficient vaut 1.

Quand un système n'a-t-il pas de solution ?

Quand le déterminant a·e - b·d vaut 0 et que les équations sont incompatibles. Géométriquement, les deux droites sont parallèles et ne se croisent jamais. Exemple : x + y = 1 et x + y = 5.

Qu'est-ce que la méthode de Cramer ?

C'est une formule directe utilisant les déterminants : x = (c·e - b·f) / D et y = (a·f - c·d) / D, avec D = a·e - b·d. Elle fonctionne dès que D ≠ 0 et se généralise aux systèmes de n équations à n inconnues.

Un système peut-il avoir une infinité de solutions ?

Oui, lorsque les deux équations sont proportionnelles, comme x + y = 2 et 2x + 2y = 4. Les deux droites sont confondues : tout point de la droite est solution.

Comment vérifier la solution d'un système ?

Remplacez x et y par les valeurs trouvées dans les deux équations d'origine. Si les deux égalités sont vérifiées, la solution est correcte. Notre calculateur effectue cette vérification automatiquement.