Résoudre une équation du troisième degré
Entrez les coefficients a, b, c et d de l'équation ax³ + bx² + cx + d = 0 pour obtenir la nature des solutions et les racines, réelles comme complexes.
Coefficients de l'équation cubique
Pourquoi le troisième degré résiste plus que le second
Là où une équation du second degré se règle en trois lignes avec le discriminant, une équation du troisième degré — ou équation cubique — demande une machinerie plus subtile. Elle s'écrit ax³ + bx² + cx + d = 0, avec a différent de zéro, et possède toujours au moins une racine réelle, conséquence directe du théorème des valeurs intermédiaires : un polynôme de degré impair change de signe entre −∞ et +∞. Le nombre total de racines, en comptant les complexes, est exactement trois.
La méthode historique porte le nom de Cardan, mathématicien italien du XVIᵉ siècle. On commence par éliminer le terme en x² grâce au changement de variable x = t − b/(3a), ce qui ramène l'équation à une forme réduite t³ + pt + q = 0. C'est sur cette forme dépouillée que se joue tout le calcul, et c'est exactement la démarche que notre outil applique en interne avant de traduire les résultats dans la variable de départ.
Lire la nature des solutions
Un nombre unique, le discriminant Δ = (q/2)² + (p/3)³, décide de la forme des racines. Le tableau ci-dessous résume les trois cas :
| Signe de Δ | Racines |
|---|---|
| Δ > 0 | Une racine réelle et deux racines complexes conjuguées |
| Δ = 0 | Trois racines réelles, dont deux confondues (racine multiple) |
| Δ < 0 | Trois racines réelles distinctes (méthode trigonométrique) |
Prenons x³ − 6x² + 11x − 6 = 0. En testant x = 1, on tombe sur 1 − 6 + 11 − 6 = 0 : c'est une racine évidente. La factorisation se poursuit et donne (x − 1)(x − 2)(x − 3), soit les trois solutions 1, 2 et 3. Chercher une racine entière parmi les diviseurs du terme constant reste souvent le réflexe le plus rapide avant de sortir l'artillerie de Cardan.
Questions fréquentes
Oui, dans les nombres réels. Tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle, car il tend vers −∞ d'un côté et vers +∞ de l'autre : sa courbe croise forcément l'axe des abscisses. Les deux autres racines peuvent être réelles ou complexes.
C'est la technique classique de résolution des cubiques. On supprime le terme en x² par un changement de variable pour obtenir t³ + pt + q = 0, puis on exprime la racine à l'aide de racines cubiques. Notre calculateur applique cette méthode, complétée par une approche trigonométrique quand les trois racines sont réelles.
Testez les petits diviseurs entiers du terme constant d divisés par ceux de a. Pour x³ − 6x² + 11x − 6, les candidats sont ±1, ±2, ±3, ±6 ; x = 1 annule l'équation. Une fois une racine trouvée, on abaisse le degré par division et on résout un second degré.
Quand Δ est positif, deux solutions ne sont pas des nombres réels : elles s'écrivent sous la forme a + bi et a − bi, où i désigne l'unité imaginaire (i² = −1). Elles vont toujours par paire conjuguée pour une équation à coefficients réels.