Résoudre une équation du second degré
Entrez les coefficients a, b et c de l'équation ax² + bx + c = 0 pour obtenir le discriminant, les solutions, la forme canonique et la forme factorisée.
Coefficients de l'équation
La méthode du discriminant, pas à pas
Une équation du second degré s'écrit sous la forme ax² + bx + c = 0, avec a différent de zéro. Résoudre cette équation, c'est trouver les valeurs de x qui l'annulent, appelées racines ou solutions. La méthode la plus sûre repose sur le calcul du discriminant, noté avec la lettre grecque delta : Δ = b² − 4ac. Ce simple nombre décide à lui seul du nombre de solutions.
Trois cas se présentent. Si Δ est strictement positif, l'équation admet deux solutions réelles distinctes, données par x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a). Si Δ est nul, il existe une unique solution, dite racine double, égale à −b / (2a). Enfin, si Δ est négatif, aucune solution réelle n'existe : les deux racines sont des nombres complexes conjugués. Notre outil traite ces trois situations automatiquement et affiche le détail du calcul.
Prenons l'exemple x² − 3x + 2 = 0, avec a = 1, b = −3 et c = 2. Le discriminant vaut (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1, positif. Les deux racines sont donc (3 − 1) / 2 = 1 et (3 + 1) / 2 = 2. On vérifie facilement : 1 et 2 annulent bien l'équation. L'expression se factorise alors en (x − 1)(x − 2).
Forme canonique et interprétation graphique
Au-delà des racines, notre calculateur fournit la forme canonique a(x − α)² + β, où α = −b / (2a) et β = −Δ / (4a). Cette écriture met en évidence le sommet de la parabole d'équation y = ax² + bx + c, situé au point de coordonnées (α, β). Elle est précieuse pour étudier le signe de l'expression, trouver un minimum ou un maximum, ou résoudre une inéquation du second degré.
Graphiquement, une équation du second degré correspond à une parabole. Le coefficient a en fixe l'ouverture et l'orientation : si a est positif, la parabole est tournée vers le haut et possède un minimum ; si a est négatif, elle est tournée vers le bas et possède un maximum. Les racines réelles sont exactement les points où la courbe croise l'axe des abscisses. Quand Δ est négatif, la parabole ne touche jamais cet axe, ce qui explique l'absence de solution réelle.
Ces équations apparaissent bien au-delà des salles de classe : trajectoire d'un projectile en physique, optimisation d'une aire ou d'un bénéfice en économie, calcul d'intérêts, dimensionnement en ingénierie. Maîtriser leur résolution reste une compétence de base du programme de première et de terminale, régulièrement testée au baccalauréat.
Questions fréquentes
Le discriminant se calcule avec la formule Δ = b² − 4ac, où a, b et c sont les coefficients de l'équation ax² + bx + c = 0. Par exemple, pour 2x² + 5x − 3 = 0, on a Δ = 5² − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49.
Lorsque Δ est négatif, l'équation n'a aucune solution réelle : la parabole associée ne coupe pas l'axe des abscisses. Elle admet toutefois deux solutions complexes conjuguées de la forme (−b ± i√(−Δ)) / (2a), que notre outil affiche également.
Si Δ = 0, l'équation possède une racine double, c'est-à-dire une seule solution comptée deux fois, égale à x₀ = −b / (2a). L'expression se factorise alors en a(x − x₀)². Par exemple, x² − 4x + 4 = 0 a pour racine double x = 2.
La forme canonique a(x − α)² + β donne directement les coordonnées du sommet (α, β) de la parabole et son sens de variation. Elle facilite la recherche d'un minimum ou d'un maximum et l'étude du signe de l'expression, sans passer par les racines.