Trouver tous les diviseurs d'un nombre

36 a neuf diviseurs — et voici comment les trouver tous

Prenons 36. Ses diviseurs sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36 : neuf entiers qui le divisent sans laisser de reste. Plutôt que de tester tous les nombres jusqu'à 36, la méthode efficace s'arrête à sa racine carrée (6) : chaque diviseur trouvé en dessous livre automatiquement son partenaire au-dessus. 2 divise 36 ? Alors 36/2 = 18 aussi. 3 divise 36 ? Alors 12 aussi. On obtient les paires de diviseurs (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9) et (6, 6) — cette dernière ne compte qu'une fois, car 36 est un carré parfait. C'est exactement l'algorithme qu'applique cet outil, ce qui lui permet de traiter sans effort des nombres à dix chiffres.

À quoi servent les diviseurs ?

Ils sont partout dans les maths du collège et au-delà : simplifier une fraction demande le PGCD de deux nombres, donc leurs diviseurs communs ; répartir 36 élèves en groupes égaux revient à choisir un diviseur de 36 ; les critères de divisibilité (un nombre pair est divisible par 2, un nombre dont la somme des chiffres est divisible par 3 l'est aussi) permettent de vérifier un résultat de tête. Le nombre de diviseurs renseigne sur la nature d'un entier : exactement deux diviseurs (1 et lui-même) signifie que le nombre est premier ; en avoir beaucoup, comme 60 et ses douze diviseurs, explique pourquoi les Babyloniens ont bâti leur système de mesure du temps sur cette base.

La somme des diviseurs réserve une curiosité : quand la somme des diviseurs propres d'un nombre (tous sauf lui-même) redonne le nombre, on parle de nombre parfait. 6 = 1 + 2 + 3 en est le plus petit exemple, suivi de 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, puis 496 et 8128. Les Grecs anciens les connaissaient déjà ; on n'en a trouvé qu'une cinquantaine à ce jour, tous pairs. L'outil signale automatiquement les nombres premiers et parfaits que vous saisissez.

Questions fréquentes

Comment savoir combien de diviseurs possède un nombre ?

Décomposez-le en facteurs premiers, ajoutez 1 à chaque exposant, puis multipliez. Pour 36 = 2² × 3², on calcule (2+1) × (2+1) = 9 diviseurs. Cette formule évite de tous les lister quand seul leur nombre importe.

1 est-il un diviseur de tous les nombres ?

Oui. Tout entier n s'écrit n × 1, donc 1 divise tous les nombres, et chaque nombre se divise lui-même. Ces deux diviseurs sont dits « triviaux » ; les autres sont les diviseurs propres non triviaux.

Quelle est la différence entre diviseur et multiple ?

Ce sont les deux faces de la même relation : 4 est un diviseur de 36, donc 36 est un multiple de 4. Les diviseurs d'un nombre sont en quantité finie, ses multiples sont infinis.

0 peut-il être un diviseur ?

Non, la division par zéro n'est pas définie. En revanche, 0 est un multiple de tous les entiers, puisque n × 0 = 0 pour tout n.